Γεννήθηκε στον Πύργο Ηλείας και ήταν απόφοιτος της Σχολής Κινηματογράφου Λυκούργου Σταυράκου και της Δραματικής Σχολής Θεάτρου Τέχνης Καρόλου Κουν.

Ο Κώστας Καζάκος συνεργάστηκε με μερικούς από τους πιο σημαντικούς θιάσους της Αθήνας, έπαιξε κοντά σε μεγάλους πρωταγωνιστές του ελληνικού θεάτρου και έκανε πολλές περιοδείες στην Ελλάδα και το εξωτερικό. Από το 1968 έως το 1992, μαζί με την Τζένη Καρέζη, ανέβασαν πλήθος έργων, κλασικών και σύγχρονων, του ελληνικού και ξένου δραματολογίου.

Πρωτοεμφανίστηκε στο θέατρο το 1957 στο έργο του Μπέρτολτ Μπρεχτ «Ο κύκλος με την κιμωλία». Έπαιξε σημαντικούς ρόλους σε σπουδαία έργα συγγραφέων, όπως ο Ιάκωβος Καμπανέλλης («Η αυλή των θαυμάτων»), ο Άρθουρ Μίλερ («Ψηλά απ’ τη γέφυρα»), ο Κάρλο Γκολντόνι («Λοκαντιέρα»), ο Ζαν-Πολ Σαρτρ («Νεκροί χωρίς τάφο»), ο Τενεσί Ουίλιαμς («Γυάλινος Κόσμος»), αλλά και σε έργα του Σοφοκλή («Αντιγόνη») και του Αριστοφάνη («Όρνιθες») στο Θέατρο Τέχνης και στους θιάσους της Κυρίας Κατερίνας, του Αλέκου Αλεξανδράκη, της Άννας Συνοδινού και της Έλλης Λαμπέτη.

Το 1968 ο θίασος Κώστα Καζάκου - Τζένης Καρέζη έκανε την πρώτη του εμφάνιση με το έργο «Θεοδώρα η μεγάλη» του Γεωργίου Ρούσσου. Ακολούθησε μια παράσταση θρυλική μέχρι τις μέρες μας, το «Μεγάλο μας τσίρκο» του Ιάκωβου Καμπανέλη(1973), που αποτέλεσε έναν πυρήνα αντίστασης στη χούντα των συνταγματαρχών. Από τις παραστάσεις που συμπρωταγωνίστησαν ξεχώρισαν οι παραστάσεις των έργων «Κυρία δεν με μέλλει» του Βικτοριέν Σαρντού (1970), «Ποιος φοβάται τη Βιρτζίνια Γουλφ;» (1982) του Έντουαρντ Άλμπι σε σκηνοθεσία του Ζιλ Ντασέν και «Διαμάντια και μπλουζ» (1990) της Λούλας Αναγνωστάκη, που ήταν και η τελευταία κοινή τους εμφάνιση.

Η πρώτη του εμφάνιση του Κώστα Καζάκου στον κινηματογράφο ήταν το 1956 στη σατιρική ταινία του Γρηγόρη Γρηγορίου «Η αρπαγή της Περσεφόνης», σε σενάριο του Ιάκωβου Καμπανέλλη. Ακολούθησαν ταινίες, όπως «Το μπλόκο» του Άδωνι Κύρου (1965), «Το παρελθόν μιας γυναίκας» (1968) του Γιάννη Δαλιανίδη, «Η λεωφόρος του μίσους» (1968) και «Πεθαίνω κάθε ξημέρωμα» (1969) του Νίκου Φώσκολου, «Μια γυναίκα στην Αντίσταση» (1970) του Ντίνου Δημόπουλου, «Λυσιστράτη» (1972) του Γιώργου Ζερβουλάκου, «Ιφιγένεια» (1977) του Μιχάλη Κακογιάννη, «Ο άνθρωπος με το γαρύφαλλο» (1980) του Νίκου Τζήμα, «Ο δραπέτης» (1991) του Λευτέρη Ξανθόπουλου και άλλες. Ωστόσο, η ταινία-σταθμός στη ζωή του – και τεράστια επιτυχία της εποχής – ήταν το πολεμικό δράμα του Ντίνου Δημόπουλου σε σενάριο Νίκου Φώσκολου «Κοντσέρτο για πολυβόλα» (1967).

Ο Κώστας Καζάκος πρωταγωνίστησε κυρίως σε θεατρικές παραστάσεις, όπως «Ο θάνατος του εμποράκου» (1993) του Άρθουρ Μίλερ και «Η όπερα της πεντάρας» (1993) του Μπέρτολτ Μπρεχτ σε σκηνοθεσία Ζιλ Ντασέν, «Αντιγόνη» (1995) του Σοφοκλή σε σκηνοθεσία Μίνωα Βολανάκη, «Βασιλιάς Λιρ» (1996) του Σέξπιρ, «Περιμένοντας τον Γκοντό» του Σάμιουελ Μπέκετ (1997), κ.ά. Το 2004 συμμετείχε στο σίριαλ του Mega «Βέρα στο δεξί», από τις μεγάλες τηλεοπτικές επιτυχίες της εποχής εκείνης.

Επίσης, υπήρξε αντιπρόεδρος του Ελληνικού Κέντρου του Διεθνούς Ινστιτούτου Θεάτρου, γενικός γραμματέας της Πανελλήνιας Ένωσης Ελεύθερου Θεάτρου και Πρόεδρος της Πανελλήνιας Πολιτιστικής Κίνησης. Ιδρυτικό μέλος του Ελληνοαραβικού Συνδέσμου και μέλος της Επιτροπής Αδείας Άσκησης του Επαγγέλματος του Ηθοποιού. Υπήρξε συνιδρυτής του Ελεύθερου Θεάτρου (μαζί με τον Λέοντα Τριβιζά) και ιδρυτής του ιδρύματος «Τζένη Καρέζη».

Τιμήθηκε με τον «Χρυσό Απόλλωνα», βραβείο ηθοποιού Ένωσης Κριτικών Κινηματογράφου Αθηνών το 1967, και Α΄ Χρυσό Βραβείο του Φεστιβάλ Κινηματογράφου Θεσσαλονίκης το 1973 για την αρτιότερη θεατρική παραγωγή («Λυσιστράτη»).Τιμήθηκε ακόμα με το Βραβείο της Ένωσης Θεατρικών Συγγραφέων και Κριτικών για το σύνολο της προσφοράς του.

Εκλέχθηκε δύο φορές βουλευτής με το ΚΚΕ, ως επικεφαλής του ψηφοδελτίου Επικρατείας.